Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί.
Το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω,
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον καί όν φεύ!
ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι . (ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΧΑΤΖΗΔΑΚΙΣ)

Σχεδιάστε ένα τετράγωνο που να καλύπτει την ίδια επιφάνεια μ' ένα κύκλο, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη. Πόσο δύσκολο μπορεί να είναι;

Από την μία έχουμε ένα κύκλο - το πιο απλό σχήμα στο σύμπαν. Το συναντάς παντού στο φυσικό κόσμο. Από την άλλη έχουμε ένα τετράγωνο - έξοχα κατασκευασμένο με τέσσερις ίσες πλευρές και τέσσερις ίσες γωνίες. Σπάνια συναντάμε στη φύση τετράγωνα. Ενώ ο σχηματισμός του κύκλου γίνεται εντελώς αβίαστα, για να φτιάξουμε ένα τετράγωνο πρέπει να μετρήσουμε.

Έμοιαζε αυτονόητο πως εμείς οι άνθρωποι, θα καταφέρναμε να βρούμε μια μαθηματική, γεωμετρική σχέση ανάμεσα στον κύκλο και το τετράγωνο. Κι όμως κάναμε λάθος! Στο σημερινό κόσμο των προηγμένων οργάνων ακριβείας είναι δύσκολο να παραδεχτούμε ότι δεν μπορούμε να λύσουμε ένα πρόβλημα τόσο απλό όσο η διαίρεση της περιμέτρου του κύκλου από τη διάμετρο του. Κι όμως αυτή η τιμή που εκφράζεται με το σύμβολο π, προβληματίζει τους μαθηματικούς εδώ και τέσσερις χιλιάδες χρόνια. Όσο κι αν υπολογίζουμε, όσο ευφυείς κι αν είμαστε στην εύρεση νέων τεχνικών μέτρησης, δεν θα βρούμε ποτέ την ακριβή αριθμητκή τιμή του π. Η αναζήτηση της σημασίας του π σχετίζεται όχι τόσο με τον υπολογισμό των ψηφίων όσο με την ανεύρεση απαντήσεων που θα μπορούσαν να εξηγήσουν γιατί κάτι τόσο απλό, όπως η αναλογία της περιφέρειας προς τη διάμετρο πρέπει να εξελιχθεί σε κάτι τόσο περίπλοκο.

Στο κυνήγι των ψηφίων του π, κάποιοι μαθηματικοί αφιέρωσαν χρόνια από τη ζωή τους. Οι Βαβυλώνιοι (2000 π.Χ.) χρησιμοποιούν π=3 1/8, οι Αιγύπτιοι π=256/81=3,1605, οι Κινέζοι (1100 π.Χ.) π=3. Ο Αναξαγόρας (434 π.Χ.) επιχειρεί να τετραγωνίσει τον κύκλο. Λίγο αργότερα ο Αντιφών και ο Βρύσων (430 π.Χ.) επιχείρησαν να μετρήσουν το εμβαδό του κύκλου χρησιμοποιώντας μια λαμπρή ιδέα: τη μέθοδο της εξάντλησης. Αν πάρουμε ένα κανονικό εξάγωνο και διπλασιάσουμε τις πλευρές του και έπειτα τις διπλασιάσουμε ξανά και συνεχίσουμε να τις διπλασιάζουμε, αργά ή γρήγορα (υπέθεσαν) θα έχουμε τόσες πλευρές, που το πολύγωνο θα γίνει κύκλος. Πρώτος ο Αντιφών υπολόγισε το εμβαδόν ενός κύκλου, εγγράφοντας μέσα σ' αυτόν ένα πολύγωνο και υπολογίζοντας έπειτα το εμβαδόν, καθώς κάθε διαδοχικό πολύγωνο έτεινε να γίνει κύκλος. Αργότερα ο Βρύσων έκανε τη δεύτερη επαναστατική κίνηση: υπολόγισε τα εμβαδά δύο πολυγώνων, ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου σε κύκλο.

Διακόσια περίπου χρόνια μετά, ο Αρχιμήδης από τις Συρακούσες, όταν έστρεψε την προσοχή του στους κύκλους, χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης του Αντιφώντα και του Βρύσωνα αλλά επικέντρωσε το ενδιαφέρον του στις περιμέτρους των δύο πολυγώνων και όχι στα εμβαδά τους και έτσι βρήκε κατά προσέγγιση την περιφέρεια του κύκλου. Διπλασίασε τις πλευρές των δύο εξαγώνων τέσσερις φορές, καταλήγοντας σε δύο 96-γωνα, και έπειτα υπολόγισε τις περιμέτρους τους.

Κατέληξε ότι 223/71<π<22/7. Αν πάρουμε τη μέση τιμή των δύο προσεγγίσεων παίρνουμε 3,1419. Αυτό που προκαλεί μεγαλύτερη έκπληξη κι από την ακρίβεια αυτής της τιμής, είναι το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης την υπολόγισε χωρίς να διαθέτει κάποιο σύμβολο για το μηδέν, πόσο μάλλον κάποιο είδος δεκαδικής παράστασης.

Περισσότερα για το π μπορείτε να διαβάσετε στο βιβλίο του Ντεϊβιντ Μπλατνερ " η χαρά του π" εκδόσεις Ωκεανίδα απ' όπου πάρθηκαν τα παραπάνω αλλά και σε πολλές σελίδες στο διαδίκτυο.

Στο διπλανό δυναμικό φύλλο του Geogebra, μπορείτε μεταβάλλοντας το "δρομέα" πλήθους πλευρών, να δείτε τις προσεγγίσεις.

Δημιουργήθηκε 14-03-2009 ημέρα εορτής του π, από τον Βρέντζο Αντώνη με το GeoGebra